Ułamek

Brak wersji przejrzanej

Ułamek – wyrażenie postaci $\tfrac{a}{b}$ , gdzie $a$ , nazywane licznikiem, oraz $b$ , nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku zakłada się, że jest różny od zera. Iloraz $\tfrac{a}{0}$ jest nieokreślony, choć ma granicę równą nieskończoności. Granica w zależności wyboru kierunku może być dodatnia, ujemna lub nawet zespolona (zob. dzielenie przez zero).

Spis treści

1 Liczby wymierne
2 Wyrażenia wymierne
3 Działania na ułamkach
4 Ciało ułamków
- 4.1 Istotność założenia całkowitości pierścienia
5 Inne znaczenia
6 Zobacz też

[edytuj] Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. $1 + \tfrac{2}{3}$ staje się $1\tfrac{2}{3}$

[edytuj] Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

[edytuj] Działania na ułamkach

Dla każdego $c \ne 0$ ułamek $\tfrac{a}{b}$ jest równy $\tfrac{ac}{bc}$ . Operację zamiany $\tfrac{a}{b}$ na $\tfrac{ac}{bc}$ nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ ,

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ .

Przedstawienie liczby $k$ w postaci ułamka $\tfrac{k}{1}$ prowadzi do wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}$ ,

$\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}$ .

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

$\frac{a}{m} \pm \frac{b}{m} = \frac{a \pm b}{m}$ .

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$ .

Liczba $b d$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $b$ i $d$ .

[edytuj] Ciało ułamków

Dla każdego pierścienia całkowitego $P$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków. Definiuje się je jako zbiór klas abstrakcji relacji równoważności $\sim$ określonej w iloczynie kartezjańskim $P \times P^*$ w sposób