Klasa (matematyka)

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność którą posiadają wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest "za dużych" aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

[edytuj] Przykłady

Przykłady klas:

Klasa wszystkich zbiorów: mówienie o zbiorze wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą.
Klasa wszystkich liczb porządkowych: mówienie o zbiorze wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Burali-Forti), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą.
Klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych - jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych.
Klasy obiektów dużych kategorii, np. Top - kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych.
Uniwersum konstruowalne.

[edytuj] Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane np w monografii Thomasa Jecha^[1]. W książce tej, dla formuły $\varphi(x,y_1,y_2,\ldots,y_n)$ o zmiennych wolnych zawartych wśród $x,y_1,y_2,\ldots,y_n$ oraz parametrów $p_1,\ldots,p_n$ , wprowadza się klasę definiowaną przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ jako ${\mathbf C}=\{x:\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\}$ . Tak więc dla klasy ${\mathbf C}$ zdefiniowanej przez $\varphi$ z parametrów $p_1,\ldots,p_n$ mamy

$x\in {\mathbf C}$ wtedy i tylko wtedy gdy $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$ .

Klasy ${\mathbf C},{\mathbf D}$ zdefiniowane przez $\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)$ , $\psi(x,q_1,\ldots,q_m)$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same elementy, czyli gdy

$(\forall x)(\varphi(x,p_1,\ldots,p_n)\ \Leftrightarrow\ \psi(x,q_1,\ldots,q_m))$

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

[edytuj] Teoria klas Kelleya-Morse'a

John L. Kelley^[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse'a^[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Kelleya-Morse'a. Jest to teoria w języku ${\mathcal L}(\in)$ ; obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc " $x$ jest zbiorem" jest formułą $(\exists y)(x\in y)$ ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów określanych jako aksjomaty teorii klas Kelleya-Morse'a. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi$ języka ${\mathcal L}(\in)$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę:

$\Big(\exists y\Big)\Big(\forall x\Big)\Big(x\in y\ \Leftrightarrow\ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge\ \phi(x))\Big)$ .

Akjomat pary (dla każdych zbiorów $x, y$ istnieje zbiór ${x, y}$ którego jedynymi elementami są x i y).
Klasa C jest klasą właściwą wtedy i tylko wtedy gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru A jest zbiorem.
Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
Aksjomat nieskończoności:

$\Big(\exists w\in {\mathbf V}\Big)\Big(\emptyset \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)\Big)$

Aksjomat regularności:

$\Big(\forall x\Big)\Big(x\neq\emptyset\ \Rightarrow\ (\exists y\in x)(y\cap x=\emptyset)\Big)$ .

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości^[4] na zbliżonej aksjomatyce.

[edytuj] Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

$x\in y$

jest określona tylko wtedy gdy $x$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka róźnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być róźne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (należy zwrócić uwagę że w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów które spełniają tę formułę.
Akjomat pary (dla każdych zbiorów $x, y$ istnieje zbiór ${x, y}$ którego jedynymi elementami są x i y).
Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór c taki że $(\forall x) (x \in c \Leftrightarrow x \in {\mathbf C})$ wtedy i tylko wtedy gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru x, istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów x.
Aksjomat sumy: dla każdego zbioru x istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów elementów zbioru x.
Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór w taki że

$\emptyset \in w\ \wedge\ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)$

Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element x rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. "Springer Monographs in Mathematics". Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2
↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6
↑ Morse, Anthony: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Klasa_(matematyka)”

Kategoria: Teoria mnogości

Klasa (matematyka) - , wolna encyklopedia