Homeomorfizm

Brak wersji przejrzanej

Kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi bez rozrywania i sklejania

Homeomorfizm – ciągła funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednej przestrzeni topologicznej w drugą będąca otwartą (lub równoważnie domkniętą).

Spis treści

1 Intuicje
2 Definicja formalna
3 Uwagi
4 Przykłady
5 Sprzężenie topologiczne
6 Zanurzenie homeomorficzne
7 Zobacz też

[edytuj] Intuicje

Dwie przestrzenie topologiczne, które są homeomorficzne (czyli istnieje między nimi homeomorfizm), są w topologii uważane za topologicznie równoważne, czyli rozpatrywane jako obiekty jednej klasy (por. klasa abstrakcji). Jednym z zadań topologii jest badanie niezmienników i homeomorfizmów, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Z tego względu wspomniane niezmienniki homeomorfizmów nazywane są również niezmiennikami topologicznymi.

W przestrzeniach euklidesowych (takich jak prosta, płaszczyzna, czy przestrzeń trójwymiarowa z metryką euklidesową) o homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które pozwala na dowolne rozciąganie, wyginanie, skręcanie obiektu, jednak zabrania „robienia w nim dziur”, „rozrywania go”, czy też „sklejania”.

[edytuj] Definicja formalna

Funkcję $f: X \to Y$ przestrzeni topologicznej $(X,τ X)$ w przestrzeń topologiczną $(Y,τ Y)$ jest homeomorfizmem, gdy:

$f$ jest funkcją różnowartościową,
$f (X) = Y$ , czyli $f$ jest funkcją "na",
oba przekształcenia $f$ oraz $f^{-1}: Y \to X$ są ciągłe.

[edytuj] Uwagi

Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
Ciągła bijekcja może nie być homeomorfizmem, gdyż warunek ciągłości funkcji odwrotnej nie musi być zachowany.

[edytuj] Przykłady

W poniższym przykładzie litery i cyfry w każdej grupie są homeomorficzne, symbole z różnych grup homeomorficzne nie są (A jest homeomorficzne tylko z R, B tylko z 8 i tak dalej).

Zauważmy, że wszystkie litery znajdujące się w trzeciej grupie powstały przez zwykłe wygięcie odcinka (por. krzywa).

Podobnie okrąg jest homeomorficzny z kwadratem lub trójkątem, lecz nie z odcinkiem.
Analogicznie odcinek otwarty (bez końców) jest homeomorficzny z całą prostą. W tym przypadku łatwo wskazać odpowiedni homeomorfizm $f(x)={1 \over x}$ na przedział $( - 1,1)$ , po czym pozostaje odpowiednie jego umieszczenie na osi za pomocą przekształcenia afinicznego, będącego również homeomorfizmem.

[edytuj] Sprzężenie topologiczne

Dwa homeomorfizmy $\varphi,\; \psi: X \to X$ nazwiemy topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm $\varrho: X \to X$ , nazywany homeomorfizmem sprzęgającym, że

$\varphi \circ \varrho = \varrho \circ \psi$

[edytuj] Zanurzenie homeomorficzne

Przekształcenie $f\colon X\to Y$ nazywamy zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieją podprzestrzeń $L$ przestrzeni $Y$ oraz homeomorfizm $f^\prime\colon X\to L$ taki, że $f=\mbox{id}_L\circ f^{\prime}$ . Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni $X$ w $Y$ , to mówimy, że $X$ jest zanurzalna w $Y$ .